Math Summary – Part One

1 संख्याका आधारभूत गुणहरू (Basic Number Properties)

प्राइम नम्बर (Prime Number): एउटा इन्टिजर हो जुन केवल आफैले र $1$ ले मात्र विभाजित हुन्छ। [cite: 9]
इभन नम्बर (Even Number): $2$ ले विभाजित हुन्छ र यसलाई $2x$ को रूपमा लेख्न सकिन्छ। [cite: 11]
अड नम्बर (Odd Number): $2$ ले विभाजित हुँदैन र यसलाई $2x + 1$ को रूपमा लेख्न सकिन्छ। [cite: 13]
शून्य (Zero): शून्य ($0$) न त पोजिटिभ हो न त नेगेटिभ, तर यो इभन (even) इन्टिजर हो: $0 = 2 \cdot 0$। [cite: 42]
शून्यले भाग (Division by Zero): शून्यले भाग गर्नु अपरिभाषित (undefined) छ। [cite: 14]

2 इभन/अड र पोजिटिभ/नेगेटिभका नियमहरू

इभन/अड गणना:

$even + even = even$ [cite: 37]
$odd + odd = even$ [cite: 38]
$even + odd = odd$ [cite: 39]
$even \times even = even$ [cite: 34]
$odd \times odd = odd$ [cite: 35]
$even \times odd = even$ [cite: 36]

पोजिटिभ/नेगेटिभ गणना:

पोजिटिभ नम्बरहरूको गुणनफल (product) वा भागफल (quotient) पोजिटिभ हुन्छ। [cite: 24]
पोजिटिभ र नेगेटिभ नम्बरको गुणनफल वा भागफल नेगेटिभ हुन्छ। [cite: 27]
इभन (even) संख्यामा नेगेटिभ नम्बरहरूको गुणनफल वा भागफल पोजिटिभ हुन्छ। [cite: 29]
अड (odd) संख्यामा नेगेटिभ नम्बरहरूको गुणनफल वा भागफल नेगेटिभ हुन्छ। [cite: 31]
नेगेटिभ नम्बरहरूको जोड नेगेटिभ हुन्छ। [cite: 32]
कुनै पनि नम्बरलाई इभन एक्सपोनेन्ट (even exponent) मा राख्दा त्यो $\ge 0$ हुन्छ। [cite: 33]

3 एक्सपोनेन्ट, रुट र पर्फेक्ट स्क्वायर

पर्फेक्ट स्क्वायर (Perfect Squares): $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81…$ [cite: 16]
पर्फेक्ट क्युब (Perfect Cubes): $1, 8, 27, 64, 125…$ [cite: 18]
एक्सपोनेन्टका नियमहरू (Rules for Exponents): [cite: 101-107]
- $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ [cite: 102]
- $(x^a)^b = x^{ab}$ [cite: 103]
- $(xy)^a = x^a \cdot y^a$ [cite: 103]
- $(\frac{x}{y})^a = \frac{x^a}{y^a}$ [cite: 103]
- $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ (यदि $a > b$) [cite: 104]
- $\frac{x^a}{x^b} = \frac{1}{x^{b-a}}$ (यदि $b > a$) [cite: 106, 107]
- $x^0 = 1$ [cite: 105]
रुटका नियमहरू (Rules for Roots): [cite: 108]
- $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$ [cite: 109]
- $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ [cite: 111]
- सावधानी: $\sqrt[n]{x+y} \ne \sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{y}$ [cite: 113]

4 बीजगणित (Algebra)

फ्याक्टरिङ फर्मुला (Factoring Formulas): [cite: 115]
- $x(y+z) = xy + xz$ [cite: 116]
- $x^2 – y^2 = (x+y)(x-y)$ [cite: 118]
- $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ [cite: 119]
- $(x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2$ [cite: 119]
क्वाड्रेटिक फर्मुला (Quadratic Formula): $ax^2+bx+c=0$ को समाधान $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$ हो। [cite: 132, 133]
असमानता (Inequalities):
- असमानताको दुवै पक्षलाई नेगेटिभ नम्बरले गुणन वा भाग गर्दा असमानता उल्टो (reverses) हुन्छ। [cite: 97, 98]
- ट्रान्जिटिभ गुण (Transitive Property): यदि $x < y$ र $y < z$ छ भने, $x < z$ हुन्छ। [cite: 99]
- समान असमानताहरू जोड्न सकिन्छ: यदि $x < y$ र $w < z$ छ भने, $x+w < y+z$ हुन्छ। [cite: 100]

5 भिन्न, दशमलव र प्रतिशत (Fractions, Decimals & Percentages)

भिन्नको गणना (Fraction Arithmetic): [cite: 124]
- जोड/घटाउ: $\frac{x}{y} \pm \frac{z}{y} = \frac{x \pm z}{y}$ [cite: 126, 131]
- गुणन: $\frac{w}{x} \cdot \frac{y}{z} = \frac{wy}{xz}$ [cite: 127]
- भाग: $\frac{w}{x} \div \frac{y}{z} = \frac{w}{x} \cdot \frac{z}{y}$ [cite: 128]
प्रतिशत (Percentage): $x\% = \frac{x}{100}$ [cite: 129]
भिन्नका गुणहरू (Fraction Properties):
- दुई भिन्नहरू तुलना गर्न, क्रस-मल्टिप्लाई (cross-multiply) गर्नुहोस्। [cite: 361]
- $0$ र $1$ को बिचको भिन्नलाई स्क्वायर रुट (square root) गर्दा त्यो ठूलो हुन्छ। [cite: 362]
- $0$ र $1$ को बिचको भिन्नलाई स्क्वायर (squaring) गर्दा त्यो सानो हुन्छ। [cite: 364]
साझा रूपान्तरण (Common Conversions): [cite: 50-53, 56-60, 65-69]
- $33\frac{1}{3}\% = \frac{1}{3}$ [cite: 50][cite_start], $25\% = \frac{1}{4}$ [cite: 52][cite_start], $50\% = \frac{1}{2}$ [cite: 53]
- $20\% = \frac{1}{5}$ [cite: 50][cite_start], $40\% = \frac{2}{5}$ [cite: 51][cite_start], $60\% = \frac{3}{5}$ [cite: 52][cite_start], $80\% = \frac{4}{5}$ [cite: 53]
- $\frac{1}{4} = 0.25$ [cite: 66][cite_start], $\frac{1}{2} = 0.5$ [cite: 60][cite_start], $\frac{3}{4} = 0.75$ [cite: 69]
- $\frac{1}{5} = 0.2$ [cite: 59][cite_start], $\frac{2}{5} = 0.4$ [cite: 58][cite_start], $\frac{1}{3} \approx 0.333…$ [cite: 68][cite_start], $\frac{2}{3} \approx 0.666…$ [cite: 69]

6 अनुक्रम र विविध गणना (Sequences & Misc. Calculations)

क्रमिक इन्टिजर (Consecutive Integers): $x, x+1, x+2, …$ [cite: 40]
क्रमिक इभन/अड इन्टिजर (Consecutive Even/Odd): $x, x+2, x+4, …$ [cite: 41]
रिमाइन्डर (Remainder): ” $p$ लाई $q$ ले भाग गर्दा रिमाइन्डर $r$ आउँछ” को अर्थ $p = qz + r$ हो, जहाँ $z$ लाई कोशेन्ट (quotient) भनिन्छ। (उदाहरण: $7 = 3 \cdot 2 + 1$) [cite_start][cite: 90, 92]
प्रोबाबिलिटी (Probability): $\frac{\text{number of outcomes}}{\text{total number of possible outcomes}}$ [cite: 93-95]
ओभरल्यापिङ सेट (Overlapping Sets): कुल = समूह १ + समूह २ – दुवैमा भएको। [cite: 376]
औसत (Average): $\text{Average} = \frac{\text{Sum}}{N}$ [cite: 394, 395]
औसत गति (Average Speed): $\text{Average Speed} = \frac{\text{Total Distance}}{\text{Total Time}}$ [cite: 398, 399]

7 ज्यामिति – कोण र रेखाहरू (Geometry – Angles & Lines)

कोणका प्रकार (Angle Types): एक्युट ($< 90^\circ$), राइट ($= 90^\circ$), अब्ट्युज ($> 90^\circ$), स्ट्रेट ($= 180^\circ$)। [cite: 136-139]
सप्लेमेन्टरी कोण (Supplementary): दुई कोणको जोड $180^\circ$ हुन्छ। [cite: 140, 144]
कम्प्लेमेन्टरी कोण (Complementary): दुई कोणको जोड $90^\circ$ हुन्छ। [cite: 147]
पर्पेन्डिकुलर रेखाहरू (Perpendicular Lines): एक अर्कालाई $90^\circ$ मा काट्छन्। [cite: 151]
भर्टिकल कोण (Vertical Angles): दुई रेखाहरू काटिँदा बन्ने विपरित कोणहरू बराबर हुन्छन् (जस्तै, $a=b, c=d$)। [cite: 152-154, 162]
समानान्तर रेखाहरू (Parallel Lines): जब समानान्तर रेखाहरूलाई एउटा रेखा (transversal) ले काट्छ: [cite: 164]
- अल्टरनेट इन्टेरियर (Alternate interior) कोणहरू बराबर हुन्छन्। [cite: 165, 166]
- करस्पोन्डिङ (Corresponding) कोणहरू बराबर हुन्छन्। [cite: 167]
- एउटै छेउका भित्री कोणहरू सप्लेमेन्टरी (जोड $180^\circ$) हुन्छन्। [cite: 168, 180]

8 ज्यामिति – त्रिकोण (Geometry – Triangles)

कोणको जोड (Angle Sum): त्रिकोणका तीनवटै कोणको जोड $180^\circ$ हुन्छ। [cite: 209, 211]
क्षेत्रफल (Area): $A = \frac{1}{2}bh$ (जहाँ $b$ = base, $h$ = height)। [cite: 214, 215]
प्रकार (Types):
- आइसोसेलस (Isosceles): दुई भुजाहरू बराबर हुन्छन्, र ती भुजाहरूको विपरित कोण (base angles) पनि बराबर हुन्छन्। [cite: 176, 177]
- इक्विल्याटरल (Equilateral): तीनवटै भुजाहरू बराबर हुन्छन् र हरेक कोण $60^\circ$ हुन्छ। [cite: 189]
- राइट (Right): एउटा कोण $90^\circ$ हुन्छ। [cite: 174]
पाइथागोरस थेरम (Pythagorean Theorem): राइट त्रिकोणमा मात्र, $a^2 + b^2 = c^2$ (जहाँ $c$ हाइपोटेनस हो)। [cite: 229, 232]
- $3, 4, 5$ (Pythagorean triple) ले सधैं राइट त्रिकोण बनाउँछ। [cite: 234]
त्रिकोणका नियमहरू:
- ठूलो कोणको विपरित भुजा लामो हुन्छ (र विपरित पनि)। [cite: 221]
- Triangle Inequality: कुनै दुई भुजाको जोड तेस्रो भुजाभन्दा लामो हुनैपर्छ ($x+y > z$)। [cite: 255, 259]
- Exterior Angle: बाहिरी कोणको मान टाढाका दुई भित्री कोणहरूको जोड बराबर हुन्छ ($e = a+b$)। [cite: 250, 254]
विशेष त्रिकोणहरू (Special Triangles):
- $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ (आइसोसेलस राइट): भुजाहरू $s, s, s\sqrt{2}$ को अनुपातमा हुन्छन्। [cite: 271, 282, 283, 285]
- $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ (स्केलिन राइट): भुजाहरू $x, x\sqrt{3}, 2x$ को अनुपातमा हुन्छन् ($30^\circ$ को विपरित $x$, $60^\circ$ को विपरित $x\sqrt{3}$, $90^\circ$ को विपरित $2x$)। [cite: 262, 267, 269, 281]

9 ज्यामिति – चतुर्भुज र वृत्त (Geometry – Quadrilaterals & Circles)

प्यारल्लेलोग्राम (Parallelogram): विपरित भुजाहरू समानान्तर र बराबर (congruent) हुन्छन्। [cite_start]डायगोनलहरूले एकअर्कालाई आधा (bisect) गर्छन्। [cite: 272, 273]
रेक्ट्याङ्गल (Rectangle): चारवटै कोण $90^\circ$ भएको प्यारल्लेलोग्राम।
- Area = $lw$, Perimeter = $2w + 2l$ [cite: 274, 275, 290]
स्क्वायर (Square): चारवटै भुजाहरू बराबर भएको रेक्ट्याङ्गल।
- Area = $s^2$, Perimeter = $4s$ [cite: 276, 288]
ट्रापेजोइड (Trapezoid): एक जोडी भुजा मात्र समानान्तर हुन्छन् (जसलाई bases भनिन्छ)। [cite: 294, 295]
- Area = $A = (\frac{b_1 + b_2}{2})h$ [cite: 300, 303]
वृत्त (Circle):
- Area = $A = \pi r^2$ [cite: 353, 355]
- Circumference = $C = 2\pi r$ [cite: 354, 355]
- Tangent Line: वृत्तलाई एउटा बिन्दुमा मात्र छुन्छ र त्यो बिन्दुमा रेडियससँग पर्पेन्डिकुलर हुन्छ। [cite: 336, 337]
- Inscribed Angle: यसको मान त्यसले छेकेको arc को मानभन्दा आधा हुन्छ। [cite: 344]
- Central Angle: यसको मान त्यसले छेकेको arc को मान बराबर हुन्छ। [cite: 341]
- सेमिसर्कल (semicircle) मा बनेको inscribed angle सधैं $90^\circ$ हुन्छ। [cite: 340]

10 ज्यामिति – ३-डी र मापन (Geometry – 3D & Measurements)

रेक्ट्याङ्गुलर सोलिड (Box): [cite: 305]
- Volume $V = lwh$ [cite: 310]
- Surface Area $S = 2wl + 2hl + 2wh$ [cite: 306, 310]
क्युब (Cube): [cite: 311]
- Volume $V = x^3$ [cite: 315]
- Surface Area $S = 6x^2$ [cite: 313, 315]
सिलिन्डर (Cylinder):
- Volume $V = \pi r^2 h$ [cite: 318, 322]
- Surface Area (Total) $S = 2\pi rh + 2\pi r^2$ [cite: 318, 322]
साझा मापन (Common Measurements): [cite: 77]
- $1 \text{ foot} = 12 \text{ inches}$ [cite: 78]
- $1 \text{ yard} = 3 \text{ feet}$ [cite: 76]
- $1 \text{ pound} = 16 \text{ ounces}$ [cite: 81]
- $1 \text{ quart} = 2 \text{ pints}$ [cite: 79]
- $1 \text{ gallon} = 4 \text{ quarts}$ [cite: 80]
साझा अनुमान (Important Approximations): [cite: 82]
- $\sqrt{2} \approx 1.4$ [cite: 82]
- $\sqrt{3} \approx 1.7$ [cite: 83]

Math Properties Summary